Fran García (Real Madrid) y Lamine Yamal (Barcelona) se disputan un balón durante la final de la Copa del Rey (26 de abril de 2025). Marta Fernandez Jimenez/Shutterstock

El clásico entre Real Madrid y FC Barcelona es mucho más que un partido, es un espectáculo deportivo que también permite aplicar herramientas matemáticas para comprender mejor lo que ocurre en el campo. En este artículo, exploraremos cómo la métrica de goles esperados (xG) combinada con los diagramas de Venn ofrecen una nueva perspectiva sobre el partido más seguido del fútbol español.

Los primeros representan una métrica moderna aplicada al fútbol y los segundos nos conectan con conceptos clásicos de la lógica y la teoría de conjuntos, que además reavivan nuestra memoria escolar.

La conjunción de ambos permite actualizar los conceptos desarrollados por el matemático John Venn, cuya obra sigue vigente más de un siglo después de su fallecimiento.

Goles en potencia

¿Qué es el xG y qué es un diagrama de venn?

El xG (eXpected Goals) es una estadística avanzada que se utiliza en fútbol para medir la “facilidad” de que un tiro termine en gol, considerando factores como la posición, la situación del portero y la presión defensiva.

Por su parte, los diagramas de Venn son representaciones gráficas que muestran relaciones entre conjuntos: intersecciones, uniones y complementariedades.

En fútbol tenemos tres posibles resultados que podemos representar en un diagrama de Venn con dos conjuntos y su intersección. Por tanto necesitamos tres áreas diferentes para la victoria local (Barcelona), victoria visitante (Real Madrid) y el empate.

Para ello utilizaremos los sucesos, B (Barcelona puntúa) y R (Real Madrid puntúa), que serán ciertos o falsos según el resultado del partido.

Para su representación en forma de diagrama necesitamos los conjuntos que los representen. Los sucesos B y R se convertirán en conjuntos con el mismo nombre. Esta es la secuencia y sus equivalencias generales:

Lenguaje natural → lógica proposicional → teoría de conjuntos:

B o R ⇒ B ∨ R ⇒ B ∪ R

B y R ⇒ B ∧ R ⇒ B ∩ R

No B ⇒ ¬B ⇒ Bc

Aplicación al clásico: conjuntos y probabilidades

Tomemos el último clásico disputado el 11 de mayo de 2025, que ganó el Barcelona (4-3). Estos son los disparos con mejores valores xG y sus autores, sombreados en verde los que acabaron en gol:

Más adelante ilustraremos este resultado utilizando las métricas de goles esperados en el momento anterior al disparo (xG).

Las ocasiones de cada equipo nos dan un valor de probabilidad para conseguir los goles que van desde 0 (fallar todas) hasta el número total de tiros (acertar todas). Los resultados posibles son todas las combinaciones entre los goles de uno y otro equipo, más los fallos totales. Esto nos da un total de 24 (Barcelona 23 tiros) multiplicado por 10 (Real Madrid 9 tiros), 240 posibles resultados que forman el espacio muestral del experimento. Estos 240 elementos se incluyen en nuestro diagrama de Venn en su parte correspondiente, según los conjuntos:

  • B (Barcelona, xG 4,27): resultados en que el Barcelona puntúa, 185 victorias + 10 empates.

  • R (Real Madrid, xG 2,74): resultados en que el Real Madrid puntúa, 45 victorias + 10 empates.

  • B ∩ R: Intersección de los anteriores que representa los empates, 10 debido a los nueve empates con goles y uno sin ellos.

Visualización: el diagrama de Venn

Aunque los diagramas de Venn clásicos no representan cuantitativamente las probabilidades, en nuestro enfoque visual adaptado, el área de cada círculo se ha ajustado proporcionalmente a la probabilidad del resultado (ganar, perder, empatar). Esto permite visualizar no solo las relaciones lógicas entre los sucesos, sino también su peso relativo en el contexto del partido. Este enfoque novedoso representa una aplicación directa de los diagramas de Venn en el deporte, y en el fútbol en particular, presentada por primera vez en este artículo. Además, plantea dos problemas matemáticos adicionales a resolver:

Problema 1: Con el dato del área (A) calcularemos los radios de cada conjunto.

A = πr2
r = √(A / π)

Problema 2: Con el dato del área de la interesección (A∩) calcularemos la distancia entre los centros (d).

Para conseguir que la intersección tenga su correspondiente área, tenemos que dibujar los centros de cada circunferencia a la distancia d, cuyo valor obtenemos al resolver esta ecuación con métodos numéricos.

En este caso hemos usado el método Newton-Rapshon. Se trata de una de las herramientas más poderosas en el ámbito de la matemática y la ingeniería para la resolución de ecuaciones no lineales. Este algoritmo numérico se basa en el concepto de derivadas para encontrar las raíces de funciones a través de un proceso iterativo. Originalmente desarrollado por Isaac Newton y Joseph Raphson en el siglo XVII, este método ha evolucionado y se ha adaptado a diversas aplicaciones modernas, desde la física hasta la economía.

El diagrama ayuda a visualizar que, aunque el marcador fue ajustado (4-3), el Barça tuvo más oportunidades de gol de calidad, lo que respalda su victoria desde una perspectiva estadística.

Esta representación nos ofrece los resultados que buscábamos y muestra los merecimientos de cada equipo de forma muy visual e intuitiva.

Probabilidades de resultado final con xG

  • Probabilidad de que el Barcelona gane: 64.83 %.

  • Probabilidad de empate: 13.34 %.

  • Probabilidad de que el Real Madrid gane: 21.83 %.

Conclusión

Los diagramas de Venn, tradicionalmente asociados a la enseñanza escolar de la lógica y la teoría de conjuntos, encuentran en este artículo una aplicación nueva en el análisis deportivo. Al combinarlos con métricas avanzadas como los goles esperados (xG), se abre una nueva vía para representar visualmente no solo las relaciones lógicas entre los posibles resultados de un partido, sino también su probabilidad relativa que los hace comparables.

Este enfoque permite ir más allá del marcador final y explorar el “merecimiento” de cada equipo desde una perspectiva también geométrica. En el clásico entre FC Barcelona y Real Madrid, el uso de diagramas de Venn adaptados al contexto futbolístico revela que, aunque el resultado fue ajustado (4–3), el Barcelona generó más oportunidades de calidad, lo que se traduce en una mayor área de su conjunto en el diagrama.

En definitiva, este trabajo no solo ofrece una nueva forma de entender los partidos de fútbol, sino que también demuestra cómo conceptos matemáticos aparentemente alejados del deporte pueden enriquecer su análisis. Es una invitación a mirar el fútbol con otros ojos: los de la lógica, la probabilidad y la geometría.

Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation, un sitio de noticias sin fines de lucro dedicado a compartir ideas de expertos académicos.

Lee mas:

Javier Belloso Ezcurra no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.